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切割线定理(原来这才是真正的切割线定理)

切割线定理

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
与圆相交的直线是圆的割线。
切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时,切线与割线之间的关系。这是一个重要的定理,在解题中经常用到。
推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
可是你知道吗?对于圆锥曲线来说,也有类似的切割线定理呢。
而且,因为曾经以高考真题的形式出现过,切割线定理曾经也是数学爱好者讨论较多的一个话题。

其实,这个题就是研究椭圆的切割线定理了。
基于条件中出现了直线上两个点到同一点的距离关系,出于对直线参数方程的热爱,于是我用了两种方法分别计算了下。

我做高考题

其实,这个高考题是想告诉我们椭圆的一个事实:只要点P是某切线上任意一点,则切线长的平方|PT|2与|PA|与|PB|之积的比值总是定值。

椭圆切割线

由于这个高考题的出现,
很自然就会引起好事人的思考:

于是,我真的很用心的推导了下,也得到了预期中的效果。
结论,美不胜收。



线
定理
虽然没有得到圆中这个更好的结论|PT|2=|PA|×|PB|,但这个结论也算是相当精彩的了。
姑且也将它称为切割线定理吧。
注意观察也会发现,圆的的切割线定理其实就是它的特例。这可以令b=a很容易就得到验证的。
双曲线切割线

因为双曲线和椭圆方程结构的极度相似,毫不怀疑双曲线中也是存在这个类似结论的。
只是,计算就留给读者你了。

这个结果,也确实和椭圆的结论极其相似了。

抛物线切割线

抛物线是一个开放型的曲线,是否也具有这样美好的结论,其实内心还是有点忐忑的。

所以,我也极认真的推导了下,没想到,却得到了一个更好的结论。
说它更好,是因为结果根本就与抛物线方程中的p无关啊。

最后做个小结吧:

当然,这组结论虽精妙,但我们还是要将其推导过程弄清楚的。因为在考试时,可是不允许直接使用结论的。
那么,比较下前面的两种解法,是不是直线的参数方程,会更加简洁些呢。
END
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