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截长补短法(用截长补短法证明三角形全等)

截长补短法
人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用。而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗。截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 
截长法: 
(1)过某一点作长边的垂线 
(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。补短法:(1)延长短边。 
(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。先来一题:
已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求证:∠BAD+∠BCD=180°因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现。补短补短就是将一个已知的较短线段, 延长至与另一个已知的较短线段的长度相等, 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。对于具体问题, 有时通过截长补短法, 可构成某种特定的三角形来求解。已知,如下图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.
求证:∠BAP+∠BCP=180°.与上题相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。1中线倍长, 构造全等三角形中线倍长就是把三角形的中线延长, 使延长的线段等于原中线的长, 想法构造全等三角形, 使原来不在一个三角形的线段集中到一个三角形中, 再根据题目已知条件进行求解.在△ABC 中, AB = 12, AC= 8, AD是BC边上的中线, 求AD的取值范围。例题:在△ABC 中, AB = 12, AC= 8, AD是BC边上的中线线, 求AD的取值范围。分析:欲求 AD 的取值范围, 联想到三角形三边的关系, 必须设法把 AB、 AC、 AD 转移到同一个三角形中, 故可以延长 AD 到 E, 使 DE = AD, 连结BE, 若能证△BDE≌△CDA, 则有BE = AC. 而 AE = 2AD, 在 △ABE 中不难求出AE 的取值范围。2利用补短法构造等腰三角形这是几何证明常用的方法, 它是把较短的线段延长, 再根据角的关系, 找出等腰三角形。 通过腰相等进行转换, 把两条线段转移到 一条线段上来, 最后利用三角形全等, 使问题的结论水落石出。举例:
学生比较难想到的应该是倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形。
在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。常见的解题过程为:倍长中线法的过程:延长XX到X点,使线段XX等于XX(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角)。数学老师群扫码进群

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